1. Operaciones con vectores (Ej. 1, 2, 4)
Qué es: un vector en
𝑅
2
R
2
o
𝑅
3
R
3
es una n-upla de números,
𝑣
=
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑛
)
v=(v
1
,…,v
n
). Se lo piensa como una flecha desde el origen hasta el punto
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑛
)
(v
1
,…,v
n
).
Cómo se ve/opera:
Suma
𝐴
+
𝐵
A+B: se grafica con la regla del paralelogramo — trasladás una flecha al extremo de la otra, la diagonal es la suma.
Escalar
𝜆
⋅
𝐴
λ⋅A: estira/encoge el vector. Si
𝜆
>
0
λ>0 mantiene sentido; si
𝜆
<
0
λ<0 lo invierte;
∣
𝜆
∣
∣λ∣ mayor a 1 alarga, entre 0 y 1 acorta.
Resta
𝐴
−
𝐶
=
𝐴
+
(
−
1
)
𝐶
A−C=A+(−1)C: es sumar el opuesto.
Para qué se usa: es la base de todo lo que sigue — combinaciones como
2
𝐴
+
3
𝐵
2A+3B aparecen constantemente para construir puntos, direcciones de rectas, etc. En el Ej. 2 (ítem 3) te hacen notar algo importante: la norma de
𝜆
𝑣
λv crece o decrece según
∣
𝜆
∣
∣λ∣ sea mayor o menor a 1 — es la intuición detrás de
∥
𝜆
𝑣
∥
=
∣
𝜆
∣
∥
𝑣
∥
∥λv∥=∣λ∣∥v∥.
2. Norma y vectores unitarios (Ej. 2, 5, 6)
Qué es:
∥
𝑣
∥
=
𝑣
1
2
+
⋯
+
𝑣
𝑛
2
∥v∥=
v
1
2
+⋯+v
n
2
, la "longitud" del vector.
Para qué se usa: cuando te piden "un vector con la misma dirección que
𝑣
v pero norma 5" (Ej. 5), la receta es siempre la misma:
𝑤
=
5
∥
𝑣
∥
⋅
𝑣
(o
−
5
∥
𝑣
∥
⋅
𝑣
si quer
e
ˊ
s sentido contrario)
w=
∥v∥
5
⋅v(o −
∥v∥
5
⋅v si quer
e
ˊ
s sentido contrario)
Dividir por la norma da el versor (vector de norma 1) en esa dirección; multiplicar después por la norma deseada. Esto es exactamente lo que pide el Ej. 6:
∥
1
∥
𝑣
∥
𝑣
∥
=
1
∥v∥
1
v
=1.
3. Producto escalar, ángulo y ortogonalidad (Ej. 3, 10, 16)
Qué es:
𝑢
⋅
𝑣
=
𝑢
1
𝑣
1
+
⋯
+
𝑢
𝑛
𝑣
𝑛
u⋅v=u
1
v
1
+⋯+u
n
v
n
— da un número (no un vector).
Cómo se usa:
Para el ángulo:
cos
(
𝛼
)
=
𝑢
⋅
𝑣
∥
𝑢
∥
∥
𝑣
∥
cos(α)=
∥u∥∥v∥
u⋅v
.
Para detectar perpendicularidad:
𝑢
⊥
𝑣
⟺
𝑢
⋅
𝑣
=
0
u⊥v⟺u⋅v=0 — mucho más rápido que calcular el ángulo entero.
Para "hallar vectores ortogonales a
(
2
,
−
3
)
(2,−3)" (Ej. 10): planteás
(
𝑥
,
𝑦
)
⋅
(
2
,
−
3
)
=
0
(x,y)⋅(2,−3)=0, es decir
2
𝑥
−
3
𝑦
=
0
2x−3y=0, y esa ecuación es la recta de todos los ortogonales a
(
2
,
−
3
)
(2,−3) que pasan por el origen — por eso todos los que encuentres van a ser múltiplos entre sí.
4. Producto vectorial (Ej. 15, y usado en planos)
Qué es: solo en
𝑅
3
R
3
.
𝑣
×
𝑤
v×w da un vector nuevo, perpendicular a ambos
𝑣
v y
𝑤
w simultáneamente.
Para qué se usa: es la herramienta para conseguir una normal a partir de dos direcciones — clave para pasar un plano de forma paramétrica a implícita (si tenés
𝑣
,
𝑤
v,w como direcciones,
𝑛
=
𝑣
×
𝑤
n=v×w es la normal).
5. Rectas — paramétrica vs. implícita (Ej. 7–13, 26, 27)
Paramétrica:
𝑋
=
𝜆
⋅
𝑣
+
𝑝
X=λ⋅v+p, con
𝑣
≠
0
v
=0 dirección y
𝑝
p un punto de la recta. Se ve como "un punto que se mueve" — cada valor de
𝜆
λ da un punto distinto.
Se usa para: verificar pertenencia (Ej. 7 — resolvés si existe
𝜆
λ tal que
𝜆
(
−
2
,
3
)
+
(
2
,
2
)
=
𝑃
𝑖
λ(−2,3)+(2,2)=P
i
), encontrar puntos de la recta, o construir rectas paralelas (misma dirección
𝑣
v, otro punto).
Implícita (solo en
𝑅
2
R
2
):
𝑎
𝑥
+
𝑏
𝑦
=
𝑐
ax+by=c, donde
𝑛
=
(
𝑎
,
𝑏
)
n=(a,b) es un vector normal a la recta (no la dirección).
Se usa para: comprobar perpendicularidad/paralelismo entre rectas directamente comparando normales, y para construir la recta perpendicular a otra que pasa por un punto (tomás como normal la dirección de la recta dada).
Pasaje entre formas: de paramétrica a implícita, la dirección
𝑣
=
(
𝑣
1
,
𝑣
2
)
v=(v
1
,v
2
) se convierte en normal rotándola:
𝑛
=
(
−
𝑣
2
,
𝑣
1
)
n=(−v
2
,v
1
). De implícita a paramétrica, la normal
(
𝑎
,
𝑏
)
(a,b) se convierte en dirección
(
−
𝑏
,
𝑎
)
(−b,a).
En
𝑅
3
R
3
una recta no tiene "una" ecuación implícita: se escribe como intersección de dos planos (dos ecuaciones, tres incógnitas) — eso es justo lo que pide el Ej. 26.
Paralelas, coincidentes o alabeadas (Ej. 13, 27): en
𝑅
2
R
2
dos rectas o son paralelas o se cortan en un punto. En
𝑅
3
R
3
hay una tercera opción: alabeadas — no paralelas (direcciones no proporcionales) y sin embargo no se cortan. Se verifica planteando la igualdad de las dos paramétricas como sistema; si es incompatible y las direcciones no son múltiplo, son alabeadas.
6. Planos — paramétrica vs. implícita (Ej. 14–25)
Paramétrica:
𝑋
=
𝛼
𝑣
+
𝛽
𝑤
+
𝑝
X=αv+βw+p, con
𝑣
,
𝑤
v,w dos direcciones no colineales y
𝑝
p un punto. Como una hoja infinita generada por dos direcciones.
Implícita:
𝑛
⋅
(
𝑥
,
𝑦
,
𝑧
)
=
𝑛
⋅
𝑝
n⋅(x,y,z)=n⋅p, con
𝑛
=
(
𝑛
1
,
𝑛
2
,
𝑛
3
)
n=(n
1
,n
2
,n
3
) normal al plano — un solo vector "parado" perpendicular a toda la hoja.
Cómo se pasa de una a otra:
Paramétrica → implícita:
𝑛
=
𝑣
×
𝑤
n=v×w (producto vectorial de las dos direcciones), luego evaluás
𝑛
⋅
𝑝
n⋅p.
Implícita → paramétrica: necesitás dos direcciones
𝑣
,
𝑤
v,w perpendiculares a
𝑛
n (cualquier par de vectores independientes que satisfagan
𝑛
⋅
𝑣
=
0
n⋅v=0 y
𝑛
⋅
𝑤
=
0
n⋅w=0) — por eso el Ej. 19 pide "tres ecuaciones paramétricas distintas": hay infinitas elecciones válidas de
𝑣
,
𝑤
,
𝑝
v,w,p.
Para qué se usan estas dos formas en la práctica:
"¿Un punto pertenece al plano?" → forma implícita, reemplazás y chequeás la igualdad (Ej. 17, 18).
"¿Un vector es paralelo al plano?" → en forma implícita, chequeás
𝑛
⋅
𝑣
=
0
n⋅v=0 (Ej. 17).
"Plano que contiene a dos rectas" o "que pasa por tres puntos" → armás dos direcciones (restando puntos, o tomando las direcciones de las rectas) y usás producto vectorial para la normal.
Coplanaridad de puntos (Ej. 19.11): formás vectores entre los puntos y verificás que uno sea combinación de los otros dos (equivalente a que el producto vectorial de dos den una normal, y el tercero la cumpla).
7. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos
Dos planos son paralelos si sus normales son múltiplo; perpendiculares si
𝑛
1
⋅
𝑛
2
=
0
n
1
⋅n
2
=0.
Una recta es paralela a un plano si su dirección es perpendicular a la normal (
𝑣
⋅
𝑛
=
0
v⋅n=0); es perpendicular al plano si su dirección es múltiplo de la normal.
La intersección de dos planos no paralelos es una recta, con dirección
𝑛
1
×
𝑛
2
n
1
×n
2
— esto conecta directo con el Ej. 26/27: para pasar de "intersección de planos" a paramétrica, usás el producto vectorial de las normales para la dirección, y resolvés el sistema (¡Gauss!) para encontrar un punto en común
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